Satz Des Pythagoras Alle Formeln

Wie lautet der Satz des Pythagoras?

Viele Erwachsene erinnern sich, wenn sie an ihren Matheunterricht denken, noch immer an dice berühmte Pythagoras-Formel.

Doch was steckt genau hinter dieser berühmten Formel und den quadrierten Seitenlängen?

Der Satz des Pythagoras als Flächensatz

Die klassische Formel macht lediglich einen Zusammenhang der quadrierten Seitenlängen deutlich. Doch was bedeutet das anschaulich für das Dreieck? Als Antwort auf diese Frage wird der Satz als Flächensatz formuliert. Dies ist eine anschauliche Estimation des Satz des Pythagoras, in dem die Quadrate über den Dreiecksseiten eine wichtige Rolle spielen.

Pythagoras-Formel im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse c:

Der Satz des Pythagoras (Flächensatz) besagt, dass in rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate ( ) genauso groß ist wie der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats ( ).

Ein Kathetenquadrat ist dabei ein Quadrat mit der Seitenlänge der jeweiligen Kathete. Analog ist ein Hypotenusenquadrat ein Quadrat, dessen Seitenlänge der Länge der Hypotenuse entspricht.

Zur Veranschaulichung wurden entlang der Hypotenuse und den Katheten Quadrate eingezeichnet.

Abbildung 4: Satz des Pythagoras als Flächensatz

Auf verschiedene Weisen kann gezeigt werden, dass die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate in jedem rechtwinkligen Dreieck dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats entspricht. Mehr Details zum Beweis findest du weiter unten im Artikel.

Betrachte das rechtwinklige Dreieck mit den Seitenlängen , und .

Abbildung 5: Rechtwinkliges Dreieck

Da der rechte Winkel im Punkt C ist, ist c die Hypotenuse des Dreiecks. Damit gilt im Dreieck die Formel:

Wenn nun die Zahlen in dice Gleichung eingesetzt werden, sollte sich eine wahre Aussage ergeben.

Graphisch veranschaulicht bedeutet das, dass zwei Quadrate mit den Seitenlängen 3 cm und 4 cm zusammen denselben Flächeninhalt haben wie ein Quadrat mit 5 cm Seitenlänge.

Betrachte dazu noch einmal das obige Dreieck, diesmal mit farbig markierten Katheten a und b.

Abbildung half dozen: Rechtwinkliges Dreieck

Zeichnet human nun die Kathetenquadrate und das Hypotenusenquadrat, lässt sich dice Pythagoras-Formel folgendermaßen darstellen:

Abbildung seven: Graphische Veranschaulichung der Pythagoras-Formel

Mit diesen Quadraten arbeitet auch die Ritter Sport Werbung aus der Einleitung.

Abbildung 8: Der Flächensatz in der Ritter Sport WerbungQuelle: dynamische-geometrie.de

An dice Seiten des Dreiecks passen jeweils three, four und 5 Ritter Sport Täfelchen. Die passende Anzahl an Täfelchen wurde an dice jeweilige Seite angelegt und zum Quadrat ergänzt. Addiert homo die 9 blauen Vollmilch- zu den 16 roten Marzipantäfelchen, erhält human being 25 Täfelchen, also genau so viele wie gelben Knusper-Flakes-Täfelchen. Diese Rechnung entspricht dem Satz des Pythagoras:

Dabei ist , und , wobei die Zahlen für die Länge der Seiten bzw. die Anzahl der Tafeln stehen, die human dort anlegen kann. Die Pythagoras-Formel, die oben in der Rechnung verwendet wurde, lautet .

Satz des Pythagoras – Beweis

Beweis des Satzes des Pythagoras

Für den Beweis des Satzes gibt es zahlreiche verschiedene Möglichkeiten. Hier soll eine klassische Variante vorgestellt werden, die auf Ergänzungsgleichheit beruht.

Dice Ergänzungsgleichheit ist ein wichtiges Prinzip der Mathematik. Zwei Figuren sind dabei ergänzungsgleich, wenn durch das Ergänzen von kongruenten Figuren dieselbe Figur entsteht. Zwei ergänzungsgleiche Figuren haben denselben Flächeninhalt.

Betrachte hierzu ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenquadraten und und Hypotenusenquadrat .

Abbildung nine: Satz des Pythagoras als Flächensatz

Schritt	Beschreibung	Veranschaulichung (Abbildungen x-xvi)
Ziel	Es soll gezeigt werden, dass dice Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate mit dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats übereinstimmt.
Ausgangsfiguren	Figur i: Kathetenquadrate (a2+b2) Figur 2: Hypotenusenquadrat (c2)
Idee	Aus beiden Figuren soll durch Ergänzen von zueinander kongruenten Figuren die gleiche Figur entstehen. Die Zielform ist dabei ein Quadrat mit der Seitenlänge . Die Ergänzungsgleichheit liefert die Flächengleichheit der Ausgangsflächen.
Ergänzen des Hypotenusen-Quadrats	Das Hypotenusenquadrat wird so in das Quadrat mit Seitenlänge eingezeichnet, dass die Eckpunkte an den Berührpunkten der Teilstrecken a und b der Quadratseite liegen. Dadurch entstehen in den Ecken des Quadrats vier Dreiecke mit den Seitenlängen a, b und c. Diese Dreiecke besitzen gegenüber der Seite c aufgrund der Eigenschaften des Quadrats einen rechten Winkel. Nach dem SSS-Satz sind diese Dreiecke kongruent zum Ausgangsdreieck.
Ergänzen der Kathetenquadrate	Dice beiden Kathetenquadrate werden in die Ecken des Zielquadrates eingesetzt. Die übrige Fläche (weiß), die aus zwei Rechtecken mit Seitenlängen a und b besteht, wird in vier rechtwinklige Teildreiecke aufgeteilt. Da diese Dreiecke rechtwinklig sind und jeweils die Seitenlängen a und b haben, sind sie laut dem SWS-Satz kongruent zum Ursprungsdreieck ABC. Damit beträgt die Länge der Hypotenuse, wie gewünscht, c.
Fazit	Beide Figuren, das Hypotenusenquadrat und die beiden Kathetenquadrate, können durch das Einfügen von vier zum Ursprungsdreieck kongruenten Dreiecken zu einem Quadrat von Seitenlänge ergänzt werden. Damit sind Hypotenusenquadrat und die beiden Kathetenquadrate ergänzungsgleich und damit auch flächengleich. Damit gold für alle rechtwinkligen Dreiecke mit Hypotenuse c.
Verallgemeinerung	Nach Umstellung der Variablen, abhängig davon, welche Dreiecksseite die Hypotenuse ist, gold dice Pythagoras-Formel für jedes rechtwinklige Dreieck.

Dice Rolle der Variablen – Kathete und Hypotenuse und Formeln

Für manche rechtwinkligen Dreiecke gold auch die Formel . An welcher Position die Variablen in der Pythagoras-Formel auftauchen, ist keinesfalls beliebig! Die Unterteilung der Dreiecksseiten in Katheten und Hypotenuse ist in jedem Dreieck eindeutig und entscheidet über dice Formulierung der pythagoreischen Formel.

Wie oben beschrieben, sind in der klassischen Formel a und b die beiden Katheten und die Seite c ist die Hypotenuse des Dreiecks. Für dieses Dreieck gold dann die Formel:

Abbildung 17: Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c

Ist allerdings eine andere Dreiecksseite dice Hypotenuse des Dreiecks, wird dementsprechend auch dice Formel angepasst. Dabei steht die Hypotenuse allein auf einer Seite der Formel. Im Dreieck, in dem gilded, ist b dice Hypotenuse des Dreiecks.

In einer Tabelle sind dice drei möglichen Fälle übersichtlich dargestellt.

Katheten	Hypotenuse	Pythagoras-Formel	Skizze (Abbildungen 18-20)
a und b	c
a und c	b
b und c	a

Umkehrbarkeit des Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist umkehrbar. Das heißt, dass sich auch eine wahre Aussage ergibt, wenn die Voraussetzung und dice Folgerung vertauscht werden. Wenn in einem Dreieck für dice Seitenlängen dice Pythagoras-Formel gilt, kannst du also folgern, dass es sich bei dem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Satz des Pythagoras – Aufgaben

Zum Satz des Pythagoras gibt es verschiedene Aufgabentypen. In erster Linie wird er dazu verwendet, fehlende Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen. Außerdem kann man mit ihm dice Höhe in gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecken berechnen.

Zur Erinnerung: Im gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten des Dreiecks gleich lang und alle Innenwinkel 60° groß.Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten (die Schenkel) gleich lang und die Basiswinkel, die an der Basis (dritte Seite) anliegen, sind gleich groß. Beide Dreiecke sind achsensymmetrisch, sodass die Höhe die Grundseite halbiert.Lies doch gerne noch einmal in den Artikeln Gleichseitiges Dreieck und Gleichschenkliges Dreieck die Besonderheiten der Dreiecke nach.

Der Satz des Pythagoras dient auch dazu, ein Dreieck auf Rechtwinkligkeit zu überprüfen. Denn wenn die Formel nicht gilded, kann ein Dreieck auch nicht rechtwinklig sein.

Hintergrund: Dreieck auf Rechtwinkligkeit prüfen

Diese Aussage folgt aus der allgemeinen Aussagenlogik.

Für jeden Satz der Form "Aureate A, dann folgt B" gilded gleichermaßen "Golden B nicht, dann gold auch A nicht".

Allgemein aureate:

Denn würde, wenn B nicht aureate, A gelten, würde ja B direkt folgen und laut Voraussetzung gilt B eben genau nicht.

Für den Satz des Pythagoras bedeutet das:

Dreieck ABC mit Hypotenuse c ist rechtwinklig Dreieck ABC mit Hypotenuse c ist nicht rechtwinklig

Das Dreieck kann dennoch rechtwinklig sein, mit einer anderen Dreiecksseite als Hypotenuse. Auch die anderen Formeln müssen daher überprüft werden.

Berechnung der Hypotenusenlänge – Übungen

Bei gegebenen Kathetenlängen kann in einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Hypotenuse berechnet werden.

Aufgabe one

Ein rechtwinkliges Dreieck chapeau die Katheten und . Berechne die Länge der zugehörigen Hypotenuse c.

Abbildung 21: Dreieck zu Aufgabe 1

Lösung

Aufgrund der Rechtwinkligkeit des Dreiecks (rechter Winkel bei C), gold der Satz des Pythagoras und damit die Formel

Durch das Einsetzen der Kathetenlängen a und b ergibt sich für die Hypotenuse c:

Wurzelziehen auf beiden Seiten der Gleichung ergibt für die Länge der Hypotenuse:

Die Hypotenuse c ist damit 10 cm lang.

Berechnung einer Kathetenlänge – Übungen

Auf ähnliche Weise kann man die Länge einer fehlenden Kathete des rechtwinkligen Dreiecks berechnen.

Aufgabe two

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse b mit der Länge five cm. Eine der Katheten ist gegeben mit . Berechne dice fehlende Kathete und zeichne das Dreieck.

Lösung

Da die Seite b die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist, muss dice Pythagoras-Formel entsprechend umgestellt werden. Dice Hypotenuse steht dabei allein auf einer Seite. Im obigen Dreieck gold daher:

Nun muss die Formel then umgestellt werden, dass die fehlende Kathete c berechnet werden kann.

Durch das Einsetzen der gegebenen Längen von b und a ergibt sich:

Wurzelziehen auf beiden Seiten der Gleichung liefert:

Die fehlende Kathete c des Dreiecks ist damit 3 cm lang.

Zum Schluss wird das Dreieck wie gefordert skizziert.

Abbildung 22: Dreieck zu Aufgabe 2

Überprüfen eines Dreiecks auf Rechtwinkligkeit – Übungen

Wie oben beschrieben, ist ein Dreieck nicht rechtwinklig, wenn dice Pythagoras-Formel nicht gilt. Dies muss natürlich prinzipiell für alle drei Möglichkeiten (der drei Hypotenusen) überprüft werden.

Im besten Autumn weißt du, dass die Hypotenuse dice längste Seite des Dreiecks ist. Warum das and then ist, kannst du in unserem Artikel zur Hypotenuse nachlesen. Daher musst du immer nur überprüfen, ob die längste der drei gegebenen Seiten die Hypotenuse des Dreiecks ist und ob für diese Konstellation die Pythagoras-Formel gilt.

Aufgabe iii

Überprüfe mit dem Satz des Pythagoras, ob das gegebene Dreieck rechtwinklig ist.

Abbildung 23: Dreieck zu Aufgabe 3

Lösung

Dice längste Seite des Dreiecks, die deshalb auch als einzige als Hypotenuse in Frage kommt, ist die Seite b. Wenn das Dreieck also rechtwinklig mit Hypotenuse b ist, muss die Formel gelten.

Dazu werden die verschiedenen Seitenlängen eingesetzt und quadriert.

Weil der Satz des Pythagoras nicht gilt, ist damit auch das Dreieck nicht rechtwinklig.

Berechnen der Höhe im gleichseitigen Dreieck – Übungen

Im gleichseitigen und gleichschenkligen Dreieck kann durch dessen Besonderheiten die Höhe mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Wie man dabei genau vorgeht, siehst du hier am Beispiel des gleichseitigen Dreiecks.

Aufgabe four

Berechne mithilfe des Satzes von Pythagoras dice Höhe des gleichseitigen Dreiecks ABC.

Abbildung 24: Dreieck zu Aufgabe 4

Lösung

Um den Satz des Pythagoras anwenden zu können, benötigst du ein rechtwinkliges Dreieck. Den rechten Winkel liefert dabei die Höhe h, die senkrecht auf der Grundseite des Dreiecks steht. Betrachte nun nur dice linke Seite des gleichseitigen Dreiecks.

Abbildung 25: Rechtwinkliges Teildreieck ADC

Es entsteht das rechtwinklige Teildreieck ADC mit rechtem Winkel bei D. Entsprechend gilt im Dreieck ADC die Formel

Die Länge von c' beträgt 2 cm, weil das Dreieck achsensymmetrisch ist und daher dice Höhe die Seite c, die four cm lang ist, genau halbiert

Aufgelöst nach liefert die Formel

Einsetzen der gegebenen Längen liefert

Damit beträgt die Höhe im gleichseitigen Dreieck 3,5 cm.

Satz des Pythagoras - Das Wichtigste

• In rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c aureate: .
• Der Satz kann als Flächensatz interpretiert werden: Im rechtwinkligen Dreieck entspricht dice Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.
• Je nachdem, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck dice Hypotenuse ist, muss die Formel umgestellt werden.
• mit dem Satz können fehlende Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck berechnet werden und ein Dreieck auf Rechtwinkligkeit geprüft werden.

Source: https://www.studysmarter.de/schule/mathe/geometrie/satz-des-pythagoras/

Posted by: zookcolove.blogspot.com

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